Question

A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：
（1）对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|．
（Ⅰ）设φ（x）=，x∈[1，2]，证明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）设φ（x）∈A，如果存在x∈（1，2），使得x=φ（2x），那么这样的x是唯一的．

Answer

（I）根据φ（2x）=单调增的性质，得x∈[1，2]时1＜≤φ（2x）≤＜2，从而得到φ（2x）∈（1，2）；再根据分子有理化，整理得|φ（2x1）-φ（2x2）|=|x1-x2|•，从而令=L，得0＜L＜1满足|φ（2x1）-φ（2x2）|≤L|x1-x2|．由以上两条可得φ（x）∈A成立；
（II）反证法，假设满足条件的x不是唯一的，则存在两个x、∈（1，2）且x≠，使得x=φ（2x），=φ（2），根据（I）的结论进行推理得到|x-|≤L|x1-x2|，所以L≥1与定义0＜L＜1矛盾，从而说明假设不成立，可得满足x∈（1，2）且x=φ（2x）的x是唯一的．
【解析】
（Ⅰ）对任意x∈[1，2]，φ（2x）=，
∵≤φ（2x）≤，且1＜＜＜2，
∴φ（2x）∈（1，2）满足（1）的条件；
对任意的x1，x2∈[1，2]，|φ（2x1）-φ（2x2）|
=|x1-x2|•，
∵3＜++，
所以0＜，
令=L，则0＜L＜1，
可得|φ（2x1）-φ（2x2）|≤L|x1-x2|，满足（2）的条件
所以φ（x）∈A成立．…（8分）
（Ⅱ）反证法：
设存在两个x、∈（1，2）且x≠，使得x=φ（2x），=φ（2），则
由（I）的结论，得|φ（2x）-φ（2）|≤L|x1-x2|，
得|x-|≤L|x1-x2|，所以L≥1，与定义0＜L＜1矛盾，故假设不成立，
可得不存在两个x、∈（1，2）且x≠，使得x=φ（2x），=φ（2），
因此如果存在x∈（1，2），使得x=φ（2x），那么这样的x是唯一的．…（13分）