Question

已知直线l经过椭圆的焦点并且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴相交于点M，则△MPQ面积的最大值为    ．

Answer

设出直线的方程利用直线与椭圆联立方程组，求出AB的距离，求出AB的中点与M的距离，推出三角形的面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最大值即可．
【解析】
由题意可知直线的斜率存在，
所以设直线l的方程为y=kx+1，M（m，0）；
由可得（k2+2）x2+2kx-1=0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=-．
可得y1+y2=k（x1+x2）+2=．…（3分）
设线段PQ中点为N，则点N的坐标为（，），直线MN的方程为：y-=（x-），
M（，0），|MN|==，
|AB|==
△MPQ的面积为==
==≤．当且仅当k=0时去等号．
所以所求面积的最大值为．
故答案为：．