Question

已知函数
（1）当t=5时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若存在t∈[0，1]，使得对任意x∈[-4，m]，不等式f（x）≤x成立，求整数m的最大值．

Answer

（1）求导数f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得到其单调区间；
（2）不等式f（x）≤x可变为t≤xex-x3-2x2-5x，存在t∈[0，1]，使得对任意x∈[-4，m]，不等式f（x）≤x成立，等价于0≤xex-x3-2x2-5x对于x∈[-4，m]恒成立，先讨论①m≤0时的情况，此时不等式可化简为ex-x2-2x-5≤0，令g（x）=ex-x2-2x-5，由于m为整数，利用导数验证m=-1，m=0时恒成立情况，再讨论②m=1时情况，综上可得最大整数m值．
【解析】
（1）当t=5时，f（x）=，∴，
其中x2-x+1＞0，由f′（x）＞0，得x＜0，由f′（x）＜0，得x＞0，
所以，f（x）的增区间为（-∞，0），减区间为（0，+∞）；
（2）不等式f（x）≤x，即（x3+2x2+5x+t）e-x≤x，即t≤xex-x3-2x2-5x．
转化为存在实数t∈[0，1]，使得对任意x∈[-4，m]，不等式t≤xex-x3-2x2-5x恒成立，即不等式0≤xex-x3-2x2-5x对于x∈[-4，m]恒成立，
当m≤0时，则有不等式ex-x2-2x-5≤0对于x∈[-4，m]恒成立，
设g（x）=ex-x2-2x-5，则g′（x）=ex-2x-2，又m为整数，
则当m=-1时，则有-4≤x≤-1，此时g′（x）=ex-2x-2＞0，
则g（x）在[-4，-1]上为增函数，∴g（x）≤g（-1）＜0恒成立．
m=0时，当-1＜x≤0时，因为[g′（x）]′=ex-2＜0，则g′（x）在（-1，0]上为减函数，
g′（-1）=e-1＞0，g′（0）=-1＜0，故存在唯一x∈（-1，0]，使得g′（x）=0，即=2x+2，
则当-4≤x＜x，有g′（x）＞0，；当x＜x≤0时，有g′（x）＜0；
故函数g（x）在区间[-4，x]上为增函数，在区间[x，0]上为减函数，
则函数g（x）在区间[-4，0]上的最大值为-2x-5，
又=2x+2，则g（x）=（2x+2）--2x-5=--3＜0，
故不等式0≤xex-x3-2x2-5x对于x∈[-4，0]恒成立，
而当m=1时，不等式0≤xex-x3-2x2-5x对于x=1不成立．
综上得，m=0．