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已知函数 (1)当t=5时,求函数f(x)的单调区间; (2)若存在t∈[0,1...

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(1)当t=5时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若存在t∈[0,1],使得对任意x∈[-4,m],不等式f(x)≤x成立,求整数m的最大值.
(1)求导数f′(x),在定义域内解不等式f′(x)>0,f′(x)<0,即可得到其单调区间; (2)不等式f(x)≤x可变为t≤xex-x3-2x2-5x,存在t∈[0,1],使得对任意x∈[-4,m],不等式f(x)≤x成立,等价于0≤xex-x3-2x2-5x对于x∈[-4,m]恒成立,先讨论①m≤0时的情况,此时不等式可化简为ex-x2-2x-5≤0,令g(x)=ex-x2-2x-5,由于m为整数,利用导数验证m=-1,m=0时恒成立情况,再讨论②m=1时情况,综上可得最大整数m值. 【解析】 (1)当t=5时,f(x)=,∴, 其中x2-x+1>0,由f′(x)>0,得x<0,由f′(x)<0,得x>0, 所以,f(x)的增区间为(-∞,0),减区间为(0,+∞); (2)不等式f(x)≤x,即(x3+2x2+5x+t)e-x≤x,即t≤xex-x3-2x2-5x. 转化为存在实数t∈[0,1],使得对任意x∈[-4,m],不等式t≤xex-x3-2x2-5x恒成立,即不等式0≤xex-x3-2x2-5x对于x∈[-4,m]恒成立, 当m≤0时,则有不等式ex-x2-2x-5≤0对于x∈[-4,m]恒成立, 设g(x)=ex-x2-2x-5,则g′(x)=ex-2x-2,又m为整数, 则当m=-1时,则有-4≤x≤-1,此时g′(x)=ex-2x-2>0, 则g(x)在[-4,-1]上为增函数,∴g(x)≤g(-1)<0恒成立. m=0时,当-1<x≤0时,因为[g′(x)]′=ex-2<0,则g′(x)在(-1,0]上为减函数, g′(-1)=e-1>0,g′(0)=-1<0,故存在唯一x∈(-1,0],使得g′(x)=0,即=2x+2, 则当-4≤x<x,有g′(x)>0,;当x<x≤0时,有g′(x)<0; 故函数g(x)在区间[-4,x]上为增函数,在区间[x,0]上为减函数, 则函数g(x)在区间[-4,0]上的最大值为-2x-5, 又=2x+2,则g(x)=(2x+2)--2x-5=--3<0, 故不等式0≤xex-x3-2x2-5x对于x∈[-4,0]恒成立, 而当m=1时,不等式0≤xex-x3-2x2-5x对于x=1不成立. 综上得,m=0.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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