Question

定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=-2x²+12x-18，若函数y=f（x）-log_a（|x|+1）在（0，+∞）上至多三个零点，则a的取值范围是（ ）
A．（，1）
B．（，1）∪（1，+∞）
C．（0，）
D．（，1）

Answer

先利用函数是偶函数求出，f（1），进而得到函数的周期性，然后利用函数的周期性和奇偶性作出函数f（x）的图象，利用f（x）与loga（|x|+1）的图象关系确定取值范围．
【解析】
因为函数f（x）是偶函数，所以令x=-1得，f（-1+2）=f（-1）-f（1）=f（1），解得f（1）=0，所以f（x+2）=f（x）-f（1）=f（x），即函数的周期是2．
由y=f（x）-loga（|x|+1）=0得f（x）=loga（|x|+1），令y=f（x），y=loga（|x|+1），当x＞0时，y=loga（|x|+1）=loga（x+1），函数过点（0，0）．
若a＞1，则由图象可知，此时数y=f（x）-loga（|x|+1）在（0，+∞）上没有零点，所以此时此时满足条件．
若0＜a＜1，则由图象可知，要使两个函数y=f（x）与y=loga（x+1），有三个交点，
则y=m（x）=loga（x+1）不能过点B（4，-2），即m（4）＜-2，即loga5＜-2，解得，此时．
所以满足条件的a的取值范围a＞1或．
故选B．