Question

已知点P（-1，）是椭圆E：（a＞b＞0）上一点，F₁、F₂分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF₁⊥x轴．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设A、B是椭圆E上两个动点，（0＜λ＜4，且λ≠2）．求证：直线AB的斜率等于椭圆E的离心率；
（3）在（2）的条件下，当△PAB面积取得最大值时，求λ的值．

Answer

（1）求出|PF1|、|PF2|，利用椭圆的定义，即可求得椭圆E的方程；
（2）利用确定坐标之间的关系，点的坐标代入方程，利用点差法，即可证得结论；
（3）设直线AB的方程与3x2+4y2=12联立消去y并整理，求出|AB|、点P到直线AB的距离，从而可得△PAB的面积利用导数法求最大值，即可得到结论．
（1）【解析】
∵PF1⊥x轴，∴F1（-1，0），c=1，F2（1，0），
∴|PF2|=，∴2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2，∴b2=3，
∴椭圆E的方程为：；…（3分）
（2）证明：设A（x1，y1）、B（x2，y2），
由 得（x1+1，y1-）+（x2+1，y2-）=λ（1，-），
所以x1+x2=λ-2，y1+y2=（2-λ）…①…（5分）
又，，
两式相减得3（x1+x2）（x1-x2）+4（y1+y2）（y1-y2）=0…．．②
以①式代入可得AB的斜率k===e；…（8分）
（3）【解析】
设直线AB的方程为y=x+t，与3x2+4y2=12联立消去y并整理得 x2+tx+t2-3=0，△=3（4-t2），
|AB|=，
点P到直线AB的距离为d=，
△PAB的面积为S=|AB|×d=，…（10分）
设f（t）=S2=（t4-4t3+16t-16）（-2＜t＜2），
f′（t）=-3（t3-3t2+4）=-3（t+1）（t-2）2，由f′（t）=0及-2＜t＜2得t=-1．
当t∈（-2，-1）时，f′（t）＞0，当t∈（-1，2）时，f′（t）＜0，f（t）=-1时取得最大值，
所以S的最大值为．
此时x1+x2=-t=1=λ-2，λ=3．…（12分）