Question

定义区间（a，b），[a，b），（a，b][a，b]的长度均为d=b-a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如（1，2）∪（3，5）的长度为d=（2-1）+（5-3）=3，用[x]表示不超过x的最大整数，记＜x＞=x-[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]•＜x＞，g（x）=2x-[x]-2，若d₁，d₂，d₃分别表示不等式f（x）＞g（x）、方程f（x）=g（x）、不等式f（x）＜g（x）解集的长度，则当0≤x≤2012时，有（ ）
A．d₁=2，d₂=0，d₃=2010
B．d₁=1，d₂=1，d₃=2010
C．d₁=2，d₂=1，d₃=2009
D．d₁=2，d₂=2，d₃=2008

Answer

先化简f（x）=[x]•＜x＞=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]2，再化简f（x）＞g（x），再分类讨论：①当x∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，2012]时，从而
得出f（x）＞g（x）在0≤x≤2012时的解集的长度；对于f（x）=g（x）和f（x）＜g（x）进行类似的讨论即可．
【解析】
∵f（x）=[x]•＜x＞=[x]•（x-[x]）=[x]x-[x]2，g（x）=2x-[x]-2，
f（x）＞g（x），等价于[x]x-[x]2＞2x-[x]-2，即（[x]-2）x＞[x]2-[x]-2，即 （[x]-2）x＞（[x]-2）（[x]+1）．
当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＜1，∴x∈[0，1）；
当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为x＜2，∴x∈[1，2）；
当x∈[2，3）时，[x]=2，上式可化为 0＞0，∴x∈∅；
当x∈[3，2012]时，[x]-1＞0，上式可化为x＞[x]+1，∴x∈∅；
∴f（x）＞g（x）在0≤x≤2012时的解集为[0，2），故d1=2．
f（x）=g（x）等价于[x]x-[x]2 =2x-[x]-2，即（[x]-2）x=[x]2-[x]-2，
当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x=1，∴x∈∅；
当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为x=2，∴x∈∅；
当x∈[2，3）时，[x]=2，上式可化为0=0，∴x∈[2，3）；
当x∈[3，2012]时，[x]-2＞0，上式可化为x=[x]+1，∴x∈∅；
∴f（x）=g（x）在0≤x≤2012时的解集为[2，3），故d2=1．
f（x）＜g（x）等价于[x]x-[x]2 ＜2x-[x]-2，即（[x]-2）x＜[x]2-[x]-2，
当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；
当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为x＞2，∴x∈∅；
当x∈[2，3）时，[x]=2，上式可化为 0＜0，∴x∈∅；
当x∈[3，2012]时，[x]-2＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[3，2012]；
∴f（x）＜g（x）在0≤x≤2012时的解集为[3，2012]，故d3=2009．
故选C．