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已知函数f(x)=ax2-3x+lnx(a>0) (1)若曲线y=f(x)在点P...

已知函数f(x)=ax2-3x+lnx(a>0)
(1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)在区间manfen5.com 满分网上的最值;
(2)若函数f(x)在定义域内是单调函数,求a的取值范围.
(1)求导函数,利用曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,可求a的值,令f′(x)<0,可得函数f(x)的单调减区间;令f′(x)>0,可得单调增区间;然后确定函数的极值,最后比较极值与端点值的大小,从而确定函数的最大和最小值. (2)要保证原函数在定义内单调,需保证其导函数在定义域上不变号,分类讨论,从而求得参数的范围. 【解析】 (1)∵f(x)=ax2-3x+lnx(a>0), ∴f′(x)=2ax-3+,x>0 ∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴, ∴k=2a-2=0,∴a=1, ∴f(x)=x2-3x+lnx,f′(x)=2x-3+,x>0, 令f′(x)=2x-3+<0,可得<x<1;令f′(x)>0,可得0<x<或x>1; ∴函数f(x)的单调减区间为[,1),单调增区间为(1,+∞), 当在区间时.∴f(x)在区间[,1]上为增函数,f(x)在区间[1,2]上为增函数.(4分) ∴fmax(x)=f(2)=-2+ln2,fmin(x)=f(1)=-2.(6分) (2)原函数定义域为(0,+∞) ∴f′(x)=2ax-3+=,∵函数f(x)在定义域(0,+∞)内为单调函数, ∴f'(x)≤0或f'(x)≥0在(0,+∞)恒成立 由于a>0,设g(x)=2ax2-3x+1(x∈(0,+∞)) 由题意知△=9-8a≤0 ∴a≥ 所以a的取值范围为:a≥.(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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