Question

对于函数f（x），若存在x∈R，使f（x）=x成立，则称x为
f（x）的不动点．如果函数f（x）=有且仅有两个不动点0、2．
（1）求b、c满足的关系式；
（2）若c=时，相邻两项和不为零的数列{a_n}满足=1（S_n是数列{a_n}的前n项和），求证：；
（3）在（2）的条件下，设，Tn是数列{b_n}的前n项和，求证：T₂₀₁₂-1＜ln2012＜T₂₀₁₁．

Answer

（1）设 =x的不动点为0和2，由此知推出b、c满足的关系式．
（2）由c=2，知b=2，f（x）=（x≠1），2Sn=an-an2，且an≠1．所以an-an-1=-1，an=-n，要证待证不等式，只要证，利用分析法证明＜ln（1+）＜．考虑证不等式＜ln（x+1）＜x（x＞0），由此入手利用函数的导数判断函数的单调性，然后导出．
（3）由，利用（2）的结论，通过累加法证明所要证明的不等式T2012-1＜ln2012＜T2011即可．
【解析】
（1）设 =x的不动点为0和2
∴即即b、c满足的关系式：b=1+且c≠0
（2）∵c=2∴b=2∴f（x）=（x≠1），
由已知可得2Sn=an-an2①，且an≠1．
当n≥2时，2Sn-1=an-1-an-12②，
①-②得（an+an-1）（an-an-1+1）=0，∴an=-an-1或an=-an-1=-1，
当n=1时，2a1=a1-a12⇒a1=-1，
若an=-an-1，则a2=1与an≠1矛盾．∴an-an-1=-1，∴an=-n
∴要证待证不等式，只要证，
即证，
只要证nln（1+）＜1＜（n+1）ln（1+），即证＜ln（1+）＜．
考虑证不等式＜ln（x+1）＜x（x＞0）**．
令g（x）=x-ln（1+x），h（x）=ln（x+1）-（x＞0）．
∴g'（x）=，h'（x）=，
∵x＞0，∴g'（x）＞0，h'（x）＞0，∴g（x）、h（x）在（0，+∞）上都是增函数，
∴g（x）＞g（0）=0，h（x）＞h（0）=0，∴x＞0时，＜ln（x+1）＜x．
令x=则**式成立，∴，
（3）由（2）知bn=，则Tn=
在＜ln（1+）＜中，令n=1，2，3，…，2011，并将各式相加，
得＜ln+ln+…+ln＜1+．
即T2012-1＜ln2012＜T2011．