Question

已知函数．（a∈R）
（Ⅰ）若f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若在区间（0，+∞）上，函数f（x）的图象恒在曲线y=2ae^x下方，求a的取值范围．

Answer

（I）f（x）在区间（-∞，0）上单调递增⇔f'（x）=（2a-1）e2x+1≥0在区间（-∞，0）上恒成立，通过分离参数，利用指数函数的单调性即可得出；
（II）令，定义域为R．则在区间（0，+∞）上，函数f（x）的图象恒在曲线y=2aex下方⇔g（x）＜0在区间（0，+∞）上恒成立．利用导数研究函数g（x）的单调性，通过对a分类讨论即可得出．
【解析】
（Ⅰ）f（x）在区间（-∞，0）上单调递增，
则f'（x）=（2a-1）e2x+1≥0在区间（-∞，0）上恒成立．                          
即，而当x∈（-∞，0）时，，故1-2a≤1．                  
∴a≥0．                                                                
（Ⅱ）令，定义域为R．
在区间（0，+∞）上，函数f（x）的图象恒在曲线y=2aex下方等价于g（x）＜0在区间（0，+∞）上恒成立．
∵g'（x）=（2a-1）e2x-2aex+1=（ex-1）[（2a-1）ex-1]，
①若，令g'（x）=0，得极值点x1=0，，
当x2＞x1=0，即时，在（x2，+∞）上有g'（x）＞0，此时g（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x2），+∞），不合题意；
当x2≤x1=0，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（0，+∞）上，
有g（x）∈（g（0），+∞），也不合题意；                                          
②若，则有2a-1≤0，此时在区间（0，+∞）上恒有g'（x）＜0，从而g（x）在区间（0，+∞）上是减函数；
要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足，
由此求得a的范围是．                                            
综合①②可知，当时，函数f（x）的图象恒在直线y=2aex下方．