Question

设函数f（x）=x³+x，x∈R．若当0＜θ＜时，不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-∞，1]
B．[1，+∞）
C．（，1）
D．（，1]

Answer

利用奇函数f（x）=x3+x单调递增的性质，可将不等式f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，转化为msinθ＞m-1恒成立，由0＜θ＜，可求得实数m的取值范围．
【解析】
∵f（x）=x3+x，
∴f（-x）=（-x）3+（-x）=-x3-x=-f（x），
∴函数f（x）=x3+x为奇函数；
又f′（x）=3x2+1＞0，
∴函数f（x）=x3+x为R上的单调递增函数．
∴f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立⇔f（msinθ）＞-f（1-m）=f（m-1）恒成立，
∴msinθ＞m-1（0＜θ＜）恒成立⇔m（1-sinθ）＜1恒成立，
由0＜θ＜知，0＜sinθ＜1，0＜1-sinθ＜1，＞1
由m＜恒成立知：m≤1．
∴实数m的取值范围是（-∞，1]．
故选A．