Question

如果对于任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f（x）的定义域内，则 f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称函数f（x）为“保三角形函数”．现有下列五个函数：
①f（x）=2x；
②f（x）=e^x；
③f（x）=x²；
④f（x）=；
⑤f（x）=sinx．
则其中是“保三角形函数”的有    ．（写出所有正确的序号）

Answer

欲判断函数f（x）是不是“保三角形函数”，只须任给三角形，设它的三边长a、b、c满足a+b＞c，判断f（a）、f（b）、f（c）是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可．因此假设a≤c且b≤c，在各个选项中根据定义和函数对应法则加以判断，即可得到只有①④是“保三角形函数”，而其它的都可举出反例推翻．
【解析】
任给三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，
对于①，f（x）=2x，由于f（a）+f（b）=2（a+b）＞2c=f（c），所以f（x）=2x是“保三角形函数”．
对于②，f（x）=ex，设a=b=2，c=3，a、b、c能构成三角形的三边
因为f（a）=f（b）=e2，f（c）=e3，而f（a）+f（b）=2e2＜e3=f（c）
所以f（a）、f（b）、f（c）不能构成三角形的三边，故f（x）=ex不是“保三角形函数”．
对于③，f（x）=x2，3，3，5可作为一个三角形的三边长，但32+32＜52，
不存在三角形以32，32，52为三边长，故f（x）=x2不是“保三角形函数”．
对于④，f（x）=，由a+b＞c，可得a+2+b＞c
两边开方得+，因此函数f（x）=是“保三角形函数”．
对于⑤，对于f（x）=sinx，记a=2π，b=3π，c=5π，
则f（a）=f（b）=f（c）=0，不满足f（a）+f（b）＞f（c）
所以f（x）=sinx，不是“保三角形函数”．
故答案为：①④