Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2AD=4，E是DC的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P点位置，且PC=PB．
（Ⅰ）若F是BP的中点，求证：CF∥面APE；
（Ⅱ）求证：面APE⊥面ABCE；
（Ⅲ）求三棱锥C-PBE的体积．

Answer

（I）取AB中点G，连接GF，GC，证明平面APE∥平面FGC，可得CF∥面APE；
（Ⅱ）取AE中点O，连接PO，取BC的中点H，连OH，PH，证明PO⊥面ABCE，即可证明面APE⊥面ABCE；
（Ⅲ）利用等体积转化，即可求三棱锥C-PBE的体积．
（Ⅰ）证明：取AB中点G，连接GF，GC，
∵EC∥AG，EC=AG，∴四边形AECG为平行四边形，
∴AE∥GC，
在△ABP中，GF∥AP，
又GF∩GC=G，AE∩AP=A，
∴平面APE∥平面FGC
∵FC⊂平面FGC，
∴CF∥面APE．…（4分）
（Ⅱ）证明：取AE中点O，连接PO，则PA=PE，OA=OE，∴PO⊥AE，
取BC的中点H，连OH，PH，
∴OH∥AB，∴OH⊥BC，
∵PB=PC，∴BC⊥PH，
∴BC⊥面POH，
∴BC⊥PO，
又BC与AE相交，可得PO⊥面ABCE，
所以，面APE⊥面ABCE．…（9分）
（Ⅲ）【解析】
．…（13分）