Question

已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则x+y的最小值是    ．

Answer

建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线 m方程和AC的中垂线 n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求x和y的值，最后利用基本不等式求最小值即可．
【解析】
如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：
则A（0，0），B （2a，0），C（-，），
∵O为△ABC的外心，
∴O在AB的中垂线 m：x=a上，又在AC的中垂线 n 上，
AC的中点（-，），AC的斜率为tan120°=-，
∴中垂线n的方程为 y-=（x+）．
把直线 m和n 的方程联立方程组 ，
解得△ABC的外心O（a，+），
由条件 =x+y，得（a，+）
=x（2a，0）+y（-，）=（2ax-，），
∴，解得x=+，y=，
∴x+y=++=+（）=2．
当且仅当a=1时取等号．
故答案为：2．