Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中点，E，F分别是A₁A，C₁C上一点，且AE=CF=2a．
（1）求证：B₁F⊥平面ADF；
（2）求三棱锥B₁-ADF的体积；
（3）求证：BE∥平面ADF．

Answer

（1）由直棱柱的性质，得B1B⊥底面ABC，从而有AD⊥B1B，结合等腰△ABC中AD⊥BC，证出AD⊥平面B1BCC1，从而得出AD⊥B1F，矩形B1BCC1中利用Rt△DCF≌Rt△FC1B1证出∠B1FD=90°，从而B1F⊥FD，最后根据AD∩FD=D，证出B1F⊥平面AFD；
（2）由（1）B1F⊥平面AFD，得B1F是三棱锥B1-ADF的高．根据题中数据分别算出AD、DF、B1F的长度，用锥体体积公式即可算出棱锥B1-ADF的体积；
（3）连EF、EC，设EC∩AF=M，连结DM．矩形AEFC中证出M为EC中点，从而得到MD是△CBE的中位线，得到MD∥BE，再利用线面平行判定定理，即可证出BE∥平面ADF．
【解析】
（1）∵AB=AC，D为BC中点，∴AD⊥BC．
在直三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵B1B⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，∴AD⊥B1B．
∵BC∩B1B=B，∴AD⊥平面B1BCC1．
∵B1F⊂平面B1BCC1，∴AD⊥B1F．
在矩形B1BCC1中，∵C1F=CD=a，B1C1=CF=2a，
∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1．
∴∠CFD=∠C1B1F．∴∠B1FD=90°，可得B1F⊥FD．
∵AD∩FD=D，∴B1F⊥平面AFD．
（2）∵B1F⊥平面AFD，∴B1F是三棱锥B1-ADF的高
等腰△ABC中，AD==2，
矩形BB1C1C中，DF=B1F==
因此，三棱锥B1-ADF的体积为
V=×S△AFD×B1F==．
（3）连EF、EC，设EC∩AF=M，连结DM，
∵AE=CF=2a，∴四边形AEFC为矩形，可得M为EC中点．
∵D为BC中点，∴MD∥BE．
∵MD⊂平面ADF，BE⊄平面ADF，∴BE∥平面ADF．