Question

如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线AE排水管l₁，在路南侧沿直线CF排水管l₂，现要在矩形区域ABCD内沿直线EF将l₁与l₂接通．已知AB=60m，BC=80m，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF部分的排管费用为每米2万元，设EF与AB所成角为α．矩形区域ABCD内的排管费用为W．
（1）求W关于α的函数关系式；
（2）求W的最小值及相应的角α．

Answer

（1）过E作EM⊥BC得到角α，解直角三角形把MF用含α的代数式表示，把AE，FC也用含α的代数式表示，然后即可得到W关于α的函数关系式；
（2）利用导数求矩形区域ABCD内的排管费用为W的最小值．
【解析】
（1）如图，

过E作EM⊥BC，
垂足为M，由题意得∠MEF=α（0），
故有MF=60tanα，，AE+FC=80-60tanα，
所以==80-．
（2）设（其中），
则=．
令f′（α）=0得1-2sin2α=0，即，得．
列表

α
f′（α） + -
f（α） 单调递增 极大值 单调递减

所以当时有，此时有Wmin=．
答：排管的最小费用为万元，相应的角．