Question

已知椭圆E：的离心率为，它的上顶点为A，左、右焦点分别为F₁，F₂，直线AF₁，AF₂分别交椭圆于点B，C．
（1）求证直线BO平分线段AC；
（2）设点P（m，n）（m，n为常数）在直线BO上且在椭圆外，过P的动直线l与椭圆交于两个不同点M，N，在线段MN上取点Q，满足，试证明点Q恒在一定直线上．

Answer

（1）利用离心率计算公式，及b2=a2-c2=2c2，可以用c表示a，b，即可表示椭圆的标准方程，进而得到点A，F1的坐标；与椭圆的方程联立即可解得点B的坐标，利用对称性即可得到点C的坐标，利用中点坐标公式即可得到相等AC的中点坐标，满足直线BO的方程即可；
（2）设过P的直线l与椭圆交于两个不同点的坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），点Q（x，y），可得，．设=λ，则，，利用向量相等即可得到m，n，x，y用x1，y1，x2，y2，λ表示，进而得到2mx+3ny为常数即可．
证明：（1）由题意，，则，b2=a2-c2=2c2，
故椭圆方程为，
即2x2+3y2-6c2=0，其中，F1（-c，0），
∴直线AF1的斜率为，此时直线AF1的方程为，
联立得2x2+3cx=0，解得x1=0（舍）和，即B，
由对称性知．
直线BO的方程为，
线段AC的中点坐标为，
AC的中点坐标满足直线BO的方程，即直线BO平分线段AC．
（2）设过P的直线l与椭圆交于两个不同点的坐标为M（x1，y1），N（x2，y2），点Q（x，y），
则，．
设=λ，则，，
求得，，，，
∴，，
∴2mx+3ny====6c2，
由于m，n，C为常数，所以点Q恒在直线2mx+3ny-6c2=0上．