Question

数列{a_n}满足：a₁=5，a_n+1-a_n=，数列{b_n}的前n项和S_n满足：S_n=2（1-b_n）．
（1）证明：数列{a_n+1-a_n}是一个等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的通项公式，并求出数列{a_nb_n}的最大项．

Answer

（1）对于，令n=1即可得到a2；而两边平方可得到（an+1-an）2=2（an+1+an）+15，及（an+2-an+1）2=2（an+2+an+1）+15，两式相减即可得到
（an+2-an）（an+2-2an+1+an）=2（an+2-an），由此可得（an+2-an+1）-（an+1-an）=2，所以{an+1-an}是首项为7，公差为2的等差数列，再利用累加求和即可得出．
（2）利用即可得到bn；若是数列{anbn}的最大项akbk，则必满足（k≥2）解出即可．
解 （1）令n=1得a2-5=，解得a2=12，
由已知得（an+1-an）2=2（an+1+an）+15        ①
（an+2-an+1）2=2（an+2+an+1）+15     ②
将②-①得（an+2-an）（an+2-2an+1+an）=2（an+2-an），
由于数列{an}单调递增，所以an+2-an≠0，于是
an+2-2an+1+an=2，即（an+2-an+1）-（an+1-an）=2，
所以{an+1-an}是首项为7，公差为2的等差数列，于是
an+1-an=7+2（n-1）=2n+5，所以
an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=（2n+3）+（2n+1）+…+7+5=n（n+4）．
（2）在 Sn=2（1-bn）中令n=1得b1=2（1-b1），解得b1=，
∵Sn=2（1-bn），Sn+1=2（1-bn+1），相减得bn+1=-2bn+1+2bn，即3bn+1=2bn，
∴{bn}是首项和公比均为的等比数列，
∴bn=（）n．
从而anbn=n（n+4）（）n．
设数列{anbn}的最大项为akbk，则有
k（k+4）（）k≥（k+1）（k+5）（）k+1，且k（k+4）（）k≥（k-1）（k+3）（）k-1，
所以k2≥10，且k2-2k-9≤0，因为k是自然数，解得k=4．
所以数列{anbn}的最大项为a4b4=．