Question

已知三次函数f（x）=4x³+ax²+bx+c（a，b，c∈R）
（1）如果f（x）是奇函数，过点（2，10）作y=f（x）图象的切线l，若这样的切线有三条，求实数b的取值范围；
（2）当-1≤x≤1时有-1≤f（x）≤1，求a，b，c的所有可能的取值．

Answer

（1））由于f（x）是奇函数，可得f（-x）=-f（x）解得a=c=0；设切点为P（t，4t3+bt），利用导数得到切线的斜率，得到切线l的方程为y-（4t3+bt）=（12t2+b）（x-t），
把点（2，10）代人得到关于t的三次方程；要使切线l有三条，当且仅当g（t）=0有三个实数根，利用导数即可得出又三个实数根的充要条件，解出即可．
（2）由题意，当x=±1，±时，均有-1≤f（x）≤1，利用上述条件即可得出a，b，c的值，再利用导数加以证明即可．
解 （1）∵f（x）是奇函数，∴由f（-x）=-f（x）得a=c=0，
∴f（x）=4x3+bx，f′（x）=12x2+b．
设切点为P（t，4t3+bt），则切线l的方程为y-（4t3+bt）=（12t2+b）（x-t），
由于切线l过点（2，10），∴10-（4t3+bt）=（12t2+b）（2-t），整理得b=4t3-12t2+5，
令g（t）=4t3-12t2+5-b，则g′（t）=12t2-24t=12t（t-2），
∴g（t）在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数，
要使切线l有三条，当且仅当g（t）=0有三个实数根，
g（t）=0有三个实数根，当且仅当g（0）＞0，且g（2）＜0，解得-11＜b＜5．
（2）由题意，当x=±1，±时，均有-1≤f（x）≤1，故
-1≤4+a+b+c≤1，①
-1≤-4+a-b+c≤1，
即-1≤4-a+b-c≤1，②
-1≤+++c≤1，③
-1≤-+-+c≤1，
即-1≤-+-c≤1，④
①+②得-2≤8+2b≤2，从而b≤-3；
③+④得-2≤1+2b≤2，从而b≥-3，故b=-3．
代入①②③④得a+c=0，+c=0，从而a=c=0．
下面证明：f（x）=4x3-3x满足条件．
事实上，f′（x）=12x2-3=3（2x+1）（2x-1），所以f（x）在（-1，-）上单调递增，在（-，）上单调递减，在（，1）上单调递增，
而f（-1）=-1，f（-）=1，f（）=-1，f（1）=1，所以当-1≤x≤1时 f（x）满足-1≤f（x）≤1．