Question

设函数f（x）的定义域为D．如果∀x∈D，∃y∈D，使（C为常数）成立，则称函数f（x）在D上的均值为C，给出下列四个函数
①y=x³；
②；
③y=lnx；
④y=2sinx+1，
则满足在其定义域上均值为1的函数的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

根据在其定义域上均值为1的函数的定义，逐一对四个函数列出方程，解出y关于x的表达式，其中①③④在其定义域内有解，②在其定义域内无解，从而得出正确答案．
【解析】
①对于函数y=x3，定义域为R，设x∈R，由，得y3=2-x3，所以∈R，所以函数y=x3是定义域上均值为1的函数；
②对于，定义域为R，设x∈R，由，得，当x=-2时，，不存在实数y的值，使，所以该函数不是定义域上均值为1的函数；
③对于函数y=lnx，定义域是（0，+∞），设x∈（0，+∞），由，得lny=2-lnx，则
y=e2-lnx∈R，所以该函数是定义域上均值为1的函数；
④对于函数y=2sinx+1，定义域是R，设x∈R，由，得siny=-sinx，因为-sinx∈[-1，1]，
所以存在实数y，使得siny=-sinx，所以函数y=2sinx+1是定义域上均值为1的函数．
所以满足在其定义域上均值为1的函数的个数是3．
故选C．