Question

已知复数z_n=a_n+b_n•i，其中a_n∈R，b_n∈R，n∈N^*，i是虚数单位，且，z₁=1+i．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求和：①z₁+z₂+…+z_n；②a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n．

Answer

（1）由zn=an+bn•i，取n=1后得到z1=a1+b1•i，结合已知条件求出a1，b1．再由，
把zn=an+bn•i代入后由复数相等可得数列{an}，{bn}分别为等比数列和等差数列，则数列{an}，{bn}的通项公式可求；
（2）①直接由等比数列和等差数列的前n项和公式化简，②由错位相减法进行求解．
【解析】
（1）∵z1=a1+b1•i=1+i，∴a1=1，b1=1．
由，得an+1+bn+1•i=2（an+bn•i）+（an-bn•i）+2i=3an+（bn+2）•i，
∴，
∴数列{an}是以1为首项公比为3的等比数列，数列{bn}是以1为首项公差为2的等差数列，
∴，bn=2n-1；
（2）由（1）知，bn=2n-1．
①z1+z2+…+zn=（a1+a2+…+an）+（b1+b2+…+bn）•i
=（1+31+32+…+3n-1）+（1+3+5+••+2n-1）•i
=．
②令Sn=a1b1+a2b2+…+anbn，（Ⅰ）
将（Ⅰ）式两边乘以3得，（Ⅱ）
将（Ⅰ）减（Ⅱ）得．
∴，
所以．