Question

已知椭圆C：的左、右焦点分别为F₁，F₂点A在椭圆C上，=0，，，过点F₂且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）线段OF₂上是否存在点M（m，0），使得若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）利用，可得∠AF1F2=90°．由已知，利用夹角公式可得cos∠F1AF2=．又=2，解得，．即可得到2a==4，c=1，即可得到b2=a2-c2，进而得到椭圆方程；
（II）存在这样的点M符合题意．设线段PQ的中点为N，P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x，y），直线PQ的斜率为k（k≠0），注意到F2（1，0），则直线PQ的方程为y=k（x-1），与椭圆方程联立得到根与系数的关系，利用中点坐标公式即可得到点N，再利用向量可得，因此PQ⊥MN，利用k•kMN=-1即可得到m与k的关系．
【解析】
（Ⅰ）∵，∴∠AF1F2=90°．
∵，∴cos∠F1AF2=．
又=2，解得，．
∴2a==4，
∴a=2，c=1，b2=a2-c2=3，
即所求椭圆方程为．
（Ⅱ） 存在这样的点M符合题意．
设线段PQ的中点为N，P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x，y），
直线PQ的斜率为k（k≠0），
注意到F2（1，0），则直线PQ的方程为y=k（x-1），
由消去y得：（4k2+3）x2-8k2x+4k2-12=0，
所以，
故，y=k（x-1）=．
又点N在直线PQ上，所以N，
由可得，
∴PQ⊥MN，∴kMN=，
整理得=，
所以，在线段OF2上存在点M（m，0）符合题意，其中．