Question

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知∠A=45°，∠C=90°，∠ADC=105°，AB=BD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC（如图乙），设点E、F分别为棱AC、AD的中点．
（1）求证：DC⊥平面ABC；
（2）求BF与平面ABC所成角的正弦；
（3）求二面角B-EF-A的余弦．

Answer

（1）根据题设中的条件，用线面垂直的判定定理证明DC⊥平面ABC；
（2）点E、F分别为棱AC、AD的中点可得出EF∥CD，由（1）知，EF⊥平面ABC，由此证得∠FBE即为所求线面角，正弦值易求；解法2：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴，BA所在直线为Z轴建立如图的空间直角坐标系，给出有关各点的坐标，由题设条件求出线段BF的方向向量，面ABC的法向量，由公式求出线面角的正弦；
（3）由题意可证得∠AEB为二面角B-EF-A的平面角，在直角三角形中求出∠AEB，
【解析】
（1）证明：在图甲中∵AB=BD且∠A=45°∴∠ADB=45°，∠ABD=90°
即AB⊥BD（2分）
在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC=BD
∴AB⊥底面BDC，∴AB⊥CD．（4分）
又∠DCB=90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC=B
∴DC⊥平面ABC．（5分）
（2）解法1：∵E、F分别为AC、AD的中点
∴EF∥CD，又由（1）知，DC⊥平面ABC，
∴EF⊥平面ABC，垂足为点E
∴∠FBE是BF与平面ABC所成的角（7分）
在图甲中，∵∠ADC=105°，∴∠BDC=60°，∠DBC=30°
设CD=a则，，-（9分）
∴在Rt△FEB中，
即BF与平面ABC所成角的正弦值为．（10分）
解法2：如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示，
设CD=a，则BD=AB=2a，，（6分）
可得B（0，0，0），D（2a，0，0），A（0，0，2a），，F（a，0，a），
∴，（8分）
设BF与平面ABC所成的角为θ
由（1）知DC⊥平面ABC
∴
∴（10分）
（3）由（2）知FE⊥平面ABC，
又∵BE⊂平面ABC，AE⊂平面ABC，∴FE⊥BE，FE⊥AE，
∴∠AEB为二面角B-EF-A的平面角（12分）
在△AEB中，
∴
即所求二面角B-EF-A的余弦为．（14分）（其他解法请参照给分）