Question

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，点D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF将△CEF折起到△PEF的位置，使得平面PEF⊥平面ABFED
（1）求证：BD⊥平面POA
（2）设AO∩BD=H，当O为CH中点时，若点Q满足=，求直线OQ与平面PBD所成角的正弦值．

Answer

（1）由菱形的性质可得BD⊥AO，再利用面面垂直的性质可得PO⊥平面ABFED，得到PO⊥BD，进而得到结论；
（2）通过建立空间直角坐标系，利用斜线的方向向量和平面的法向量的夹角即可得出．
（1）证明：在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO⊂平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD⊂平面ABFED，∴PO⊥BD，
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．
（2）由（1）可知：AC⊥BD，
∵∠DAB=60°，BC=4，∴BH=2，CH=．
∵O为CH的中点，∴PO=．
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz．则O（0，0，0），A，
B，D，P．
∴，．
由，得Q为AP的中点．
∴．∴．
设平面PBD的法向量为，
则得，取x=1，得y=0，z=1．
∴．
设直线OQ与平面PBD所成的角为θ．
则===．
因此直线OQ与平面PBD所成的角的正弦值为．