Question

在图（1）所示的长方形ABCD中，AD=2AB=2，E、F分别为AD、BC的中点，M、N两点分别在AF和CE上运动，且AM=EN=a．把长方形ABCD沿EF折成大小为θ的二面角A-EF-C，如图（2）所示，其中
（1）当θ=45°时，求三棱柱BCF-ADE的体积；
（2）求证：不论θ怎么变化，直线MN总与平面BCF平行；
（3）当θ=90且．时，求异面直线MN与AC所成角的余弦值．

Answer

（1）利用已知条件即可得到EF⊥平面ADE，∠DEA=θ．再利用三棱柱的体积计算公式即可得出；
（2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连接M1N1，可证明四边形MNN1M1为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明结论；
证法二：点M作MG⊥EF交EF于G，可证平面MNG∥平面BCF，利用面面平行的性质定理即可证明；
（3）证法一：取CF的中点为Q，连接MQ、NQ，则MQ∥AC，得∠NMQ或其补角为异面直线MN与AC所成的角，利用余弦定理求出即可；
证法二：建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出．
【解析】
（1）依题意得EF⊥DE，EF⊥AE，∴EF⊥平面ADE，∠DEA=θ．
由θ=45°得，，
∴．
（2）证法一：过点M作MM1⊥BF交BF于M1，
过点N作NN1⊥CF交BF于N1，连接M1N1，
∵MM1∥AB，NN1∥EF∴MM1∥NN1
又∵，∴MM1=NN1
∴四边形MNN1M1为平行四边形，
∴MN∥N1M1，又MN⊄面BCF，N1M1⊂面BCF，∴MN∥面BCF．
证法二：过点M作MG⊥EF交EF于G，连接NG，则，∴NG∥CF．
又NG⊄面BCF，CF⊂面BCF，∴NG∥面BCF，
同理可证得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF，
∵MN⊂平面MNG，∴MN∥面BCF．
（3）证法一：取CF的中点为Q，连接MQ、NQ，则MQ∥AC，
∴∠NMQ或其补角为异面直线MN与AC所成的角，
∵θ=90且．∴，∴，----
∴．
即MN与AC所成角的余弦值为．
证法二：∵θ=90且．
分别以FE、FB、FC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．，
∴，
所以与AC所成角的余弦值为．