Question

等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使二面角A₁-DE-B成直二面角，连结A₁B、A₁C （如图2）．

（1）求证：A₁D丄平面BCED；
（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA₁与平面A₁BD所成的角为60？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）等边△ABC中，根据得到AD=1且AE=2，由余弦定理算出DE=，从而得到AD2+DE2=AE2，所以AD⊥DE．结合题意得平面A1DE⊥平面BCDE，利用面面垂直的性质定理，可证出A1D丄平面BCED；
（2）作PH⊥BD于点H，连接A1H、A1P，由A1D丄平面BCED得A1D丄PH，所以PH⊥平面A1BD，可得∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，即∠PA1H=60°．设PB=x（0≤x≤3），分别在Rt△BA1H、Rt△PA1H和Rt△DA1H中利用三角函数定义和勾股定理，建立等量关系得12+（2-x）2=（x）2，解之得x=，从而得到在BC上存在点P且当PB=时，直线PA1与平面A1BD所成的角为60°．
【解析】
（1）∵正△ABC的边长为3，且==
∴AD=1，AE=2，
△ADE中，∠DAE=60°，由余弦定理，得
DE==
∵AD2+DE2=4=AE2，∴AD⊥DE．
折叠后，仍有A1D⊥DE
∵二面角A1-DE-B成直二面角，∴平面A1DE⊥平面BCDE
又∵平面A1DE∩平面BCDE=DE，A1D⊂平面A1DE，A1D⊥DE
∴A1D丄平面BCED；
（2）假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°
如图，作PH⊥BD于点H，连接A1H、A1P
由（1）得A1D丄平面BCED，而PH⊂平面BCED
所以A1D丄PH
∵A1D、BD是平面A1BD内的相交直线，
∴PH⊥平面A1BD
由此可得∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，即∠PA1H=60°
设PB=x（0≤x≤3），则BH=PBcos60°=，PH=PBsin60°=x
在Rt△PA1H中，∠PA1H=60°，所以A1H=，
在Rt△DA1H中，A1D=1，DH=2-x
由A1D2+DH2=A1H2，得12+（2-x）2=（x）2
解之得x=，满足0≤x≤3符合题意
所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB=．