Question

.已知各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0．
（Ⅰ）求证：数列是等差数列；
（Ⅱ）求数列前n项和S_n．

Answer

（Ⅰ）an+1+an•an+1-an=0⇔-=1，利用等差数列的概念即可证得数列{}是等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知=n•2n，Sn=1×21+2×22+…+n×2n，利用错位相减法即可求得数列前n项和Sn．
【解析】
（Ⅰ）∵an+1+an•an+1-an=0，
∴=0，
∴-=1，（3分）
又=1，
∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列．（4分）
∴=1+（n-1）×1=n，an=．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知=n•2n．
Sn=1×21+2×22+…+n×2n．①
2Sn=1×22+2×23+…+n×2n+1．②（9分）
由①-②得-Sn=21+22+…+2n-n×2n+1．
∴Sn=（n-1）2n+1+2．（12分）