Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为2，侧棱长为，D为A₁C₁中点．
（Ⅰ）求证；BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）三棱锥B-AB₁D的体积．

Answer

（Ⅰ）连结A1B与AB1交于E，与偶三角形的中位线的性质可得BC1∥DE，再根据直线和平面平行的判定定理，证明BC1∥平面AB1D．
（Ⅱ）过点D作DH⊥A1B1，利用平面和平面垂直的性质可得DH⊥平面ABB1A1 ，DH为三棱锥D-ABB1的高，求出和DE的值，再根据，运算求得结果．
【解析】
（Ⅰ）连结A1B与AB1交于E，连结DE，则E为A1B的中点，故DE为△A1BC1的中位线，∴BC1∥DE．
又DE⊂平面AB1D，BC1⊄平面AB1D，∴BC1∥平面AB1D．（6分）
（Ⅱ）过点D作DH⊥A1B1，∵正三棱柱ABC-A1B1C1，∴AA1⊥平面A1B1C1，AA1⊥DH，AA1∩A1B1=A1，
∴DH⊥平面ABB1A1．DH为三棱锥D-ABB1的高．（8分）
∵，（10分）
且 ，
∵．（12分）