Question

设离心率的椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是x轴正半轴上一点，以PF₁为直径的圆经过椭圆M短轴端点，且该圆和直线相切，过点P直线椭圆M相交于相异两点A、C．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若相异两点A、B关于x轴对称，直线BC交x轴与点Q，求Q点坐标．

Answer

（Ⅰ）设圆所过短轴端点为N，由|NF1|=a，∠PNF1=，，可判断F2（c，0）是以PF1为直径的圆的圆心，根据圆和直线相切可得，据此解得c值，从而得到a，b；
（Ⅱ）设点A（x1，y1），C（x2，y2），则点B（x1，-y1），设直线PA的方程为y=k（x-3），代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，写出直线BC的方程，令y=0可得点Q的横坐标，代入韦达定理即可求得其值，从而得到点Q的坐标；
【解析】
（Ⅰ）设以PF1为直径的圆经过椭圆M短轴端点N，
∴|NF1|=a，∠PNF1=，∵，∴a=2c，
∴，|F1P|=2a．
∴F2（c，0）是以PF1为直径的圆的圆心，
∵该圆和直线相切，
∴，
∴，
∴椭圆M的方程为：．
（Ⅱ）设点A（x1，y1），C（x2，y2），则点B（x1，-y1），
设直线PA的方程为y=k（x-3），联立方程组，
化简整理得（4k2+3）x2-24k2x+36k2-12=0，
由△=（24k2）2-4•（3+4k2）•（36k2-12）＞0得．
则．
直线BC的方程为：，
令y=0，则，
∴Q点坐标为．