Question

已知数列{a_n}的前三项分别为a₁=5，a₂=6，a₃=8，且数列{a_n}的前n项和S_n满足，其中m，n为任意正整数．
（1）求数列{a_n}的通项公式及前n项和S_n；
（2）求满足的所有正整数k，n．

Answer

（1）在等式中，分别令m=1，m=2，并相减，得，在等式中，令n=1，m=2，得，由此能够求出求数列{an}的通项公式及前n项和Sn．
（2）记-，（*）n=1时，无正整数k满足等式（*）n≥2时，等式（*）即为（n2+3n+1）2-3（n-10）=k2，由此进行分类讨论，能求出满足的所有正整数k，n．
【解析】
（1）在等式中，
分别令m=1，m=2，得
，①
，②
②-①，得，
在等式中，
令n=1，m=2，得
，
由题设知，S2=11，S3=19，
故S4=29，
所以an+2=2n+6，（n∈N*），
即an=2n+2，（n≥3，n∈N*），
又a2=6也适合上式，
故，即．
（2）记-，（*）
n=1时，无正整数k满足等式（*）
n≥2时，等式（*）即为（n2+3n+1）2-3（n-10）=k2，
①当n=10时，k=131．
②当n＞10时，则k＜n2+3n+1，
∵k2-（n2+3n）2=2n2+3n+31＞0，
∴k＞n2+3n，
从而n2+3n＜k＜n2+3n+1，
∵n，k∈N*，∴k不存在，从而无正整数k满足等式（*）．
③当n＜10时，则k＞n2+3n+1，
∵k∈N*，∴k≥n2+3n+2，
从而（n2+3n+1）2-3（n-10）≥（n2+3n+2）2．
即2n2+9n-27≤0，
∵n∈N*，∴n=1或2．
n=1时，k2=52，无正整数解；
n=2时，k2=145，无正整数解．
综上所述，满足等式（*）的n，k分别为n=10，k=131．