Question

己知F₁，F₂分别是双曲线的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF₂|=2且∠F₁AF₂=45°．廷长AF₂交双曲线右支于点B，则△F₁AB及的面积等于    ．

Answer

根据双曲线的定义，得|AF1|-|AF2|=2a=2，△AF1F2中根据余弦定理算出，从而得到．设A（x1，y1），B（x2，y2）．由直线AB方程与双曲线方程联解，算出|y2|=（）y1，得到△BF1F2与△AF1F2的面积之比等于，结合△AF1F2的面积为=2得到△BF1F2的面积等于4-2，再两个三角形的面积相加，即可得到△F1AB及的面积．
【解析】
如图所示，由双曲线的方程可知：a=1．
∴|AF1|-|AF2|=2，
∵|AF2|=2，∴|AF1|=4．
∴=（2c）2=42+22-2×4×2×cos45°，化为，
∴，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
则，化为．
解得，（舍去）．
由此解出A的坐标为（，），
设直线AB方程为x=my+c，与双曲线联解，可得
由根与系数的关系，得到，结合y1=化简得到|y2|=（）y1
∴==
∵双曲线中，△AF1F2的面积S===2
∴△BF1F2的面积S=（）S=4-2
由此可得△F1AB及的面积S=S+S=4
故答案为：4