Question

已知E，F分别是矩形ABCD的边AD，BC上的点，AB=2，AD=5．AE=1，BF=3现将四边形AEFB沿EF折成四边形A′EFB′，使DF⊥B′F
（I）求证：A′EFB′⊥平面CDEF
（II）求二面角B′-FC-E的大小．

Answer

（I）根据折叠前线段的长度，判定EF与DF的垂直关系，再利用线线垂直⇒线面垂直，然后由线面垂直⇒面面垂直．
（II）根据面面垂直的性质作线面垂直，再根据三垂线定理作二面角的平面角，然后在三角形中求解即可．
【解析】
（I）证明：∵DF=EF=2，ED=4，
∴EF⊥DF，又∵DF⊥B′F，EF∩B′F=F，
∴DF⊥平面A′EFB′，又DF⊂平面CDEF，
∴平面A′EFB′⊥平面CDEF
（II）过B′作B′H⊥EF于H，
由（I）知平面A′EFB′⊥平面CDEF，
∴B′H⊥平面CDEF，
过H作HK⊥CF，交CF延长线于K，连结B′K，
由三垂线定理得，B′K⊥CF，
∴∠B′KH为二面角B′-FC-E的平面角，
∵B′F=3，∠B′FE=45°，∠B′HF=90°，
∴B′H=HF=，HK=
∴tan∠B′KH==，
即二面角B′-FC-E的正切值为