Question

等腰Rt△ACB，AB=2，．以直线AC为轴旋转一周得到一个圆锥，D为圆锥底面一点，BD⊥CD，CH⊥AD于点H，M为AB中点，则当三棱锥C-HAM的体积最大时，CD的长为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

根据题意，结合线面垂直的判定与性质，证出AB⊥平面CMH，从而AM是三棱锥C-HAM的高，得VC-HAM=S△CMH×AM，因此当S△CMH达到最大值时，三棱锥C-HAM的体积最大．设∠BCD=θ，利用Rt△ACD中等积转换和Rt△ABD∽Rt△AHM，算出CH、HM关于θ的式子，从而得到S△CMH=CH•HM=，最后根据基本不等式得当tanθ=时，S△CMH达到最大值，根据同角三角函数的基本关系算出cosθ=，从而得出CD的长为，即为当三棱锥C-HAM的体积最大时CD的长．
【解析】
根据题意，得
∵AC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AC⊥BD，
∵CD⊥BD，AC∩CD=C，∴BD⊥平面ACD，可得BD⊥CH，
∵CH⊥AD，AD∩BD=D，∴CH⊥平面ABD，可得CH⊥AB，
∵CM⊥AB，CH∩CM=C，∴AB⊥平面CMH，
因此，三棱锥C-HAM的体积V=S△CMH×AM=S△CMH
由此可得，当S△CMH达到最大值时，三棱锥C-HAM的体积最大
设∠BCD=θ，则Rt△BCD中，BC=AB=
可得CD=，BD=
Rt△ACD中，根据等积转换得CH==
Rt△ABD∽Rt△AHM，得，所以HM==
因此，S△CMH=CH•HM==
∵4+2tan2θ≥4tanθ，
∴S△CMH=≤=，
当且仅当tanθ=时，S△CMH达到最大值，三棱锥C-HAM的体积同时达到最大值．
∵tanθ=＞0，可得sinθ=cosθ＞0
∴结合sin2θ+cos2θ=1，解出cos2θ=，可得cosθ=（舍负）
由此可得CD==，
即当三棱锥C-HAM的体积最大时，CD的长为
故选：C