Question

设a∈R，对于∀x＞0，函数f（x）=（ax-1）[ln（x+1）-1]恒为非负数，则a的取值所组成的集合为    ．

Answer

由题意可知，当x+1≥e即x≥e-1时，ln（x+1）-1≥0，则ax-1≥0恒成立；当x+1＜e即0＜x＜e时，ln（x+1）-1＜0
则ax-1≤0恒成立，利用函数的恒成立与最值求解 的相互转化关系可求a的范围．
【解析】
∵x＞0时，ln（x+1）＞ln1=0
当x+1≥e即x≥e-1时，ln（x+1）-1≥0，则ax-1≥0恒成立
∴a≥
当x+1＜e即0＜x＜e时，ln（x+1）-1＜0
则ax-1≤0恒成立
∴a≤
∵对于∀x＞0，函数f（x）=（ax-1）[ln（x+1）-1]≥0恒成立
∴a=
故答案为：{}