Question

设离心率的椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是x轴正半轴上一点，以PF₁为直径的圆经过椭圆M短轴端点，且该圆和直线相切，过点P的直线与椭圆M相交于相异两点A、C．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）若相异两点A、B关于x轴对称，直线BC交x轴与点Q，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）设以|PF1|为直径的圆经过椭圆M短轴端点N，则|NF1|=a，由可得a=2c，由此可得，再由|PF1|的长可判断F2为圆的圆心，根据圆与直线相切，可解得c值，从而可求得a，b；
（Ⅱ）设点A（x1，y1），C（x2，y2），易知点B（x1，-y1），设直线PA的方程为y=k（x-3），代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，由△＞0得k2范围，由点斜式写出直线BC的方程，令y=0，由韦达定理可得Q点横坐标，利用向量数量积运算及韦达定理可把表示为k的函数，由k2的范围即可求得的范围；
【解析】
（Ⅰ）设以|PF1|为直径的圆经过椭圆M短轴端点N，
∴|NF1|=a，∵，∴a=2c，
∴，|PF1|=2a．
∴F2（c，0）是以|PF1|为直径的圆的圆心，
∵该圆和直线相切，
∴，解得，
∴椭圆M的方程为：．
（Ⅱ）设点A（x1，y1），C（x2，y2），则点B（x1，-y1），
设直线PA的方程为y=k（x-3），
联立方程组，消掉y，化简整理得（4k2+3）x2-24k2x+36k2-12=0，
由△=（24k2）2-4•（3+4k2）•（36k2-12）＞0，得．
则．
直线BC的方程为：，
令y=0，则．
∴Q点坐标为．

=
=
=．
∵，
∴．