Question

已知m∈R，函数f（x）=mx²-2e^x．
（Ⅰ）当m=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）有两极值点a，b（a＜b），（ⅰ）求m的取值范围；（ⅱ）求证：-e＜f（a）＜-2．

Answer

（Ⅰ）当m=2时求导数f′（x）=2（2x-ex），再令g（x）=2x-ex，利用导数可求出g（x）的最大值，由最大值可知g（x）的符号，从而得到f′（x）的符号，由此即可求得f（x）的单调区间；
（Ⅱ）（i）若f（x）有两个极值点a，b（a＜b），则a，b是方程f'（x）=2mx-2ex=0的两不等实根．易知x≠0，从而转化为有两不等实根，令，利用导数可求得h（x）的取值范围，从而得到m的范围；（ii）由f（a）=ma2-2ea及f'（a）=2ma-2ea=0，得f（a）=ea（a-2），令g（x）=f′（x），根据g（0）=-2＜0，g（1）=2（m-e）＞0可求得a的范围，设φ（x）=ex（x-2）（0＜x＜1），利用导数易判断φ（x）的单调性，根据单调性可得φ（1）＜φ（a）＜φ（0），代入值即可得到结论；
【解析】
（Ⅰ）m=2时，f（x）=2x2-2ex，f'（x）=4x-2ex=2（2x-ex）．
令g（x）=2x-ex，g'（x）=2-ex，
当x∈（-∞，ln2）时，g'（x）＞0，x∈（ln2，+∞）时，g'（x）＜0，
∴g（x）≤g（ln2）=2ln2-2＜0，
∴f'（x）＜0，
∴f（x）的单调减区间是（-∞，+∞）．
（Ⅱ）（i）若f（x）有两个极值点a，b（a＜b），
则a，b是方程f'（x）=2mx-2ex=0的两不等实根．
∵x=0显然不是方程的根，∴有两不等实根．
令，则，
当x∈（-∞，0）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
要使有两不等实根，应满足m＞h（1）=e，
∴m的取值范围是（e，+∞）．
（ii）∵f（a）=ma2-2ea，且f'（a）=2ma-2ea=0，
∴，
令g（x）=f′（x）=2mx-2ex，g′（x）=2（m-ex），
∵g（0）=-2＜0，g（x）在区间（0，lnm）上单调递增，g（x）在（lnm，+∞）上递减，g（1）=2（m-e）＞0，∴a∈（0，1），
设φ（x）=ex（x-2）（0＜x＜1），则φ'（x）=ex（x-1）＜0，φ（x）在（0，1）上单调递减，
∴φ（1）＜φ（a）＜φ（0），即-e＜f（a）＜-2．