Question

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为（α为参数），曲线C₂的参数方程为（β为参数），P是C₂上的点，线段OP的中点在C₁上．
（Ⅰ）求C₁和C₂的公共弦长；
（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求点P的一个极坐标．

Answer

（Ⅰ）先将曲线C1、C2化成一般方程，是两个圆的方程，得到两圆的公共弦所在直线为y=x，其中一个圆的圆（2，0）到该直线距离为，利用直角三角形求出公共弦长．
（Ⅱ）将曲线C1、C2的直角坐标方程化成极坐标方程，设M（ρ，θ），则P（2ρ，θ），两点分别代入C1和C2解得极径和极角，从而得出点P的一个极坐标．
【解析】
（Ⅰ）曲线C1的一般方程为x2+（y-2）2=4，
曲线C2的一般方程为（x-2）2+y2=4．（2分）
两圆的公共弦所在直线为y=x，（2，0）到该直线距离为，所以公共弦长为．（5分）
（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，
曲线C2的极坐标方程为ρ=4cosθ．（7分）
设M（ρ，θ），则P（2ρ，θ），两点分别代入C1和C2解得，θ不妨取锐角，
所以．（10分）