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已知函数f(x)=lnx-(a∈R) (1)讨论f(x)在[1,e]上的单调性;...

已知函数f(x)=lnx-manfen5.com 满分网(a∈R)
(1)讨论f(x)在[1,e]上的单调性;
(2)若f(x)<x在[1,+∞)上恒成立,试求a的取值范围.
(1)先求导,然后解导数不等式,利用导数符号和单调性的关系进行判断. (2)把不等式恒成立问题转化为函数最值恒成立去解决. 【解析】 (Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),. ①当a≥-1,因为1≤x≤e,所以x+a≥0,此时f'(x)≥0,所以f(x)在[1,e]上为增函数. ②当a≤-e时,因为1≤x≤e,所以x+a≥0,此时f'(x)≤0,此时f(x)在[1,e]上为减函数. ③当-e<a<-1时,令f'(x)=0得x=-a.于是当1≤x≤-a时,f'(x)≤0,所以函数f(x)在[1,-a]上为减函数. 当-a≤x≤e时,f'(x)≥0,所以函数f(x)在[-a,e]上为增函数. 综上可知,当a≥-1时,f(x)在[1,e]上为增函数.当a≤-e时,f(x)在[1,e]上为减函数. 当-e<a<-1时,f(x)在[1,-a]上为减函数,在[-a,e]上为增函数. (Ⅱ)由f(x)<x,得lnx-<x,因为x≥1,所以a>xln⁡x-x2 令g(x)=xln⁡x-x2,要使a>xln⁡x-x2 在[1,+∞)上恒成立,只需a>gmax⁡(x)即可. g'(x)=lnx-2x+1=lnx-(2x-1),分别作出函数y=lnx和y=2x-1的图象如图.由图象可知当x≥1时,lnx<2x-1. 此时g'(x)<0,所以g(x)在[1,+∞)单调递减,所以g(x)的最大值为g(1)=-1,所以a>-1,即a的取值范围是(-1,+∞).
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考点分析:
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上面命题中,真命题的序号是    (写出所有真命题的序号) 查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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