Question

已知数列{a}满足a_n=2a_n-1+2ⁿ+2（n≥2，a₁=2），
（1）求a₂，a₃，a₄
（2）是否存在一个实数λ，使得数列{}成等差数列，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；
（3）求数列{a_n}的前n项和，证明：S_n≥n³+n²．

Answer

（1）利用数列递推式，代入计算，可得结论；
（2）假设存在一个实数λ，使得数列{}成等差数列，则=恒为常数，由此可得结论；
（3）确定数列的通项，利用错位相减法求数列的和，再结合二项式定理，即可得到结论．
（1）【解析】
∵an=2an-1+2n+2（n≥2，a1=2），
∴a2=4+4+2=10，a3=20+8+2=30a4=60+16+2=78；
（2）【解析】
假设存在一个实数λ，使得数列{}成等差数列，则=恒为常数
∴2-λ=0，即λ=2
此时，
当λ=2时，数列{}是首项为2、公差为1的等差数列
（3）证明：由（2）得=n+1
∴
∴Sn=2•2+3•22+…+（n+1）•2n-2n
∴2Sn=2•22+3•23+…+（n+1）•2n+1-4n
两式相减得：
-Sn=2•2+22+23+…2n+（n+1）•2n+1+2n=-n•2n+1+2n
∴
当n=1或2时，有Sn=n3+n2；
当n≥3时，=2n[（1+1）n-1]≥2n[1+n+]=n3+n2．