Question

已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆，其离心率e=，且经过抛物线x²=4y的焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点B（2，0）的直线l与椭圆交于不同的亮点E、F（E在B、F之间）且=λ，试求实数λ的取值范围．

Answer

（1）设出椭圆的方程，利用椭圆的离心率e=，且经过抛物线x2=4y的焦点，求出几何量，即可得到椭圆的方程；
（2）设直线l方程，与椭圆方程联立消去x，根据判别式大于0，可得m的一个范围，设出E，F的坐标，利用向量知识及韦达定理，即可求得实数λ的取值范围．
【解析】
（1）设椭圆方程为（a＞b＞0）
∵椭圆的离心率e=，且经过抛物线x2=4y的焦点
∴
∴a2=2
∴椭圆的标准方程为；
（2）由题意知l的斜率存在且不为零，
设l方程为x=my+2（m≠0）①，代入，整理得（m2+2）y2+4my+2=0，由△＞0得m2＞2．
设E（x1，y1），F（x2，y2），则
∵=λ，（x1-2，y1）=λ（x2-2，y2），
∴y1=λy2，
∵，
∴=
∵m2＞2，∴4＜＜8
∴4＜＜8
∵λ＞0
∴且λ≠1．