Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）P（2，3），Q（2．-3）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点．当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ的斜率是否为定值，说明理由．

Answer

（Ⅰ）设椭圆C的方程，利用离心率为，短轴长为4，求出几何量，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）设直线方程代入椭圆方程，确定x1+x2，x1-x2，即可求得斜率．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆C的方程为（a＞b＞0）．
由已知b=2，离心率e==，a2=b2+c2，得a=4，
所以，椭圆C的方程为；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），∠APQ=∠BPQ时，PA，PB的斜率之和为0
设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为-k，
则PA的直线方程为y-3=k（x-2）代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+8（3-2k）kx+4（3-2k）2-48=0
∴
同理
∴x1+x2=，x1-x2=
∴
∴直线AB的斜率为定值．