Question

已知函数f（x）的图象过点（，-），它的导函数f′（x）=Acos（ωx+φ）（x∈R）的图象的一部分如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜，为了得到函
数f（x）的图象，只要将函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点（ ）

A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，最后沿y轴方向向下平移一个单位长度
B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后沿y轴方向向上平移一个单位长度
C．向左平移个单位长度，再把得所各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，最后沿y轴方向向下平移一个单位长度
D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后沿y轴方向向上平移一个单位长度

Answer

由f′（x）=Acos（ωx+φ）的图象可求得A，ω，φ，f（x）的图象过点（，-），从而可求得原函数y=f（x）的解析式，利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得答案．
【解析】
∵f′（x）=Acos（ωx+φ），
∴由图知，A=2，T=+=π，
∴T==π，
∴ω=2，
又ω+φ=π+2kπ，k∈Z，
∴φ=2kπ+（k∈Z），又|φ|＜，
∴φ=．
∴f′（x）=2cos（2x+）．
∴f（x）=sin（2x+）+b．
∵函数f（x）的图象过点（，-），
∴sin（2×+）+b=-，
∴b=-1．
∴f（x）=sin（2x+）-1．
∴为了得到函数f（x）sin（2x+）-1的图象，
只要将函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点：向左平移个单位长度，再把得所各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，最后沿y轴方向向下平移一个单位长度即可．
故选C．