Question

在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：（a＞0，b＞0）经过点A（，），且点F（0，-1）为其一个焦点．   
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E与y轴的两个交点为A₁，A₂，不在y轴上的动点P在直线y=b²上运动，直线PA₁，PA₂分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线MN通过一个定点，且△FMN的周长为定值．

Answer

（Ⅰ）根据题意可得解出即可；
（Ⅱ）不妨设A1（0，2），A2（0，-2）
P（x，4）为直线y=4上一点（x≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）
直线PA1方程为，直线PA2方程为，分别与椭圆联立即可得到点M，N的坐标．
由于椭圆关于y轴对称，当动点P在直线y=4上运动时，直线MN通过的定点必在y轴上，
当x=1时，直线MN的方程为，令x=0，得y=1可猜测定点的坐标为（0，1），并记这个定点为B
再证明kBM=kBN，即M，B，N三点共线即可．
又F（0，-1），B（0，1）是椭圆E的焦点，利用椭圆的定义即可得出△FMN的周长．
【解析】
（Ⅰ）根据题意可得
可解得
∴椭圆E的方程为…（4分）
（Ⅱ）不妨设A1（0，2），A2（0，-2）
P（x，4）为直线y=4上一点（x≠0），M（x1，y1），N（x2，y2）
直线PA1方程为，直线PA2方程为
点M（x1，y1），A1（0，2）的坐标满足方程组可得
点N（x2，y2），A2（0，-2）的坐标满足方程组    可得
由于椭圆关于y轴对称，当动点P在直线y=4上运动时，直线MN通过的定点必在y轴上，
当x=1时，直线MN的方程为，令x=0，得y=1可猜测定点的坐标为（0，1），并记这个定点为B
则直线BM的斜率kBM===
直线BN的斜率kBN===
∴kBM=kBN，即M，B，N三点共线，故直线MN通过一个定点B（0，1），
又∵F（0，-1），B（0，1）是椭圆E的焦点，
∴△FMN周长=|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8．