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已知函数f(x)=ax2-x-lnx(a∈R). (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间...

已知函数f(x)=ax2-x-lnx(a∈R).
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)当a=1时,证明:(x-1)(x2lnx-f(x))≥0.
(I)利用导数的运算法则得出f′(x),通过对a分类讨论,利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性; (II)利用(I)可得:f(x)≥0,即x+lnx-x2≤0,分当0<x≤1时,x2lnx-f(x)≤0,所以(x-1)(x2lnx-f(x))≥0, 当x>1时,,令φ(x)=lnx+-1,利用其导数可得φ(x)>0,即可得出(x-1)(x2lnx-f(x))>0. 【解析】 (Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= 令g(x)=2ax2-x-1,x∈(0,+∞) (1)当a≤0时,g(x)<0,此时f'(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上为减函数; (2)当a>0时,方程2ax2-x-1=0有两根, 且x1>0,x2<0,此时当)时,f'(x)<0, 当时,f'(x)>0, 故f(x)在(0,)为减函数,在()为增函数; 所以当a≤0时,函数f(x)的递减区间为(0,+∞), 当a>0时,函数f(x)的递增区间为(),递减区间为(0,). (Ⅱ)当a=1时,f(x)=x2-x-lnx,x2lnx-f(x)=x2lnx+x+lnx-x2, 由(Ⅰ)知f(x)在(0,1)为减函数,在(1,+∞)为增函数, 所以f(1)=0为f(x)的最小值,即f(x)≥0,所以x+lnx-x2≤0, 故当0<x≤1时,x2lnx-f(x)≤0,所以(x-1)(x2lnx-f(x))≥0, 当x>1时,, 令φ(x)=lnx+-1,则 φ'(x)=-,所以φ(x)在(1,+∞)为增函数,可得出φ(x)>0, 又因lnx>0,x2>0,所以, 故当x>1时,(x-1)(x2lnx-f(x))>0, 综上所述,当a=1时,(x-1)(x2lnx-f(x))≥0.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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