Question

已知函数f（x）=ax²-x-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=1时，证明：（x-1）（x²lnx-f（x））≥0．

Answer

（I）利用导数的运算法则得出f′（x），通过对a分类讨论，利用一元二次方程与一元二次不等式的关系即可判断出其单调性；
（II）利用（I）可得：f（x）≥0，即x+lnx-x2≤0，分当0＜x≤1时，x2lnx-f（x）≤0，所以（x-1）（x2lnx-f（x））≥0，
当x＞1时，，令φ（x）=lnx+-1，利用其导数可得φ（x）＞0，即可得出（x-1）（x2lnx-f（x））＞0．
【解析】
（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f'（x）=
令g（x）=2ax2-x-1，x∈（0，+∞）
（1）当a≤0时，g（x）＜0，此时f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（2）当a＞0时，方程2ax2-x-1=0有两根，
且x1＞0，x2＜0，此时当）时，f'（x）＜0，
当时，f'（x）＞0，
故f（x）在（0，）为减函数，在（）为增函数；
所以当a≤0时，函数f（x）的递减区间为（0，+∞），
当a＞0时，函数f（x）的递增区间为（），递减区间为（0，）．
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x2-x-lnx，x2lnx-f（x）=x2lnx+x+lnx-x2，
由（Ⅰ）知f（x）在（0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数，
所以f（1）=0为f（x）的最小值，即f（x）≥0，所以x+lnx-x2≤0，
故当0＜x≤1时，x2lnx-f（x）≤0，所以（x-1）（x2lnx-f（x））≥0，
当x＞1时，，
令φ（x）=lnx+-1，则
φ'（x）=-，所以φ（x）在（1，+∞）为增函数，可得出φ（x）＞0，
又因lnx＞0，x2＞0，所以，
故当x＞1时，（x-1）（x2lnx-f（x））＞0，
综上所述，当a=1时，（x-1）（x2lnx-f（x））≥0．