Question

偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，若不等式f（ax-1）＜f（2+x²）恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．
B．（-2，2）
C．
D．

Answer

根据偶函数图象关于原点对称，得f（x）在[0，+∞）上单调增且在（-∞，0]上是单调减函，由此结合2+x2是正数，将原不等式转化为|ax-1|＜2+x2恒成立，去绝对值再用一元二次不等式恒成立的方法进行处理，即得实数a的取值范围．
【解析】
∵f（x）是偶函数，图象关于y轴对称
∴f（x）在[0，+∞）上的单调性与的单调性相反
由此可得f（x）在（-∞，0]上是减函数
∴不等式f（ax-1）＜f（2+x2）恒成立，等价于|ax-1|＜2+x2恒成立
即不等式-2-x2＜ax-1＜2+x2恒成立，得的解集为R
∴结合一元二次方程根的判别式，得：a2-4＜0且（-a）2-12＜0
解之得-2＜a＜2
故选：B