Question

直线l过椭圆的左焦点F，且与椭圆相交于P、Q两点，M为PQ的中点，O为原点．若△FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的方程为    ．

Answer

由椭圆的方程求出椭圆的左焦点，由题意可知直线l的斜率存在且不等于0，写出直线l的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到PQ中点M的横坐标，再由△FMO是以OF为底边的等腰三角形得到M的横坐标，两数相等求出k的值，则直线l的方程可求．
【解析】
由，得a2=2，b2=1，所以c2=a2-b2=2-1=1．
则c=1，则左焦点F（-1，0）．
由题意可知，直线l的斜率存在且不等于0，
则直线l的方程为y=kx+k．
设l与椭圆相交于P（x1，y1）、Q（x2，y2），
联立，得：（2k2+1）x2+4k2x+2k-2=0．
所以．
则PQ的中点M的横坐标为．
因为△FMO是以OF为底边的等腰三角形，
所以．解得：．
所以直线l的方程为．
故答案为．