Question

已知函数f（x）=e^x（ax²+a+1）（a∈R）．
（Ⅰ）若a=-1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间[-2，-1]上，恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）把a=-1代入曲线方程，求出x=1的点的坐标，把原函数求导后求出f′（1），直接由点斜式写出切线方程；
（Ⅱ）由在区间[-2，-1]上，恒成立，取x=-2时求出a的初步范围，然后把函数f（x）求导，经分析导函数大于0恒成立，得到函数f（x）在[-2，-1]上为增函数，由其在[-2，-1]上的最小值f（-2）大于等于解出a的范围．
【解析】
（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=-exx2，f（1）=-e．
f′（x）=-（x2+2x）ex，则k=f′（1）=-3e．
∴切线方程为：y+e=-3e（x-1），即y=-3ex+2e．
（Ⅱ）由，得：a．
f′（x）=ex（ax2+2ax+a+1）=ex[a（x+1）2+1]．
∵a，∴f′（x）＞0恒成立，故f（x）在[-2，-1]上单调递增，
要使恒成立，则，解得a．