Question

某大学对在校的学生进行素质拓展测试．在待测试的某一个小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），如果从中随机选2人参加测试，其中恰为一男一女的概率为．
（Ⅰ）求该小组中女生的人数；
（Ⅱ）若从中随机选3人参加测试，求所选的三人恰为两名男生一名女生的概率；
（Ⅲ）假设此项测试对该小组的学生而言，每个女生通过的概率均为，每个男生通过的概率均为；现对该小组中男生甲、男生乙和女生丙3个人进行测试，记这3人中通过测试的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．

Answer

（I）设出该小组中有n个女生，根据古典概型的概率公式得到比值，等于恰为一男一女的概率，解出关于n的方程．
（Ⅱ）根据古典概型的概率公式得到恰为两名男生一名女生的概率P=．
（Ⅲ）由题意知ξ的取值为0，1，2，3，集合变量对应的事件，和独立重复试验的概率公式，得到变量对应的概率，写出分布列，求出期望值．
【解析】
（Ⅰ）设该小组中有n个女生，
由题意，得，…（2分）
解得n=6或n=4（舍），
所以该小组有6名女生．…（4分）
（Ⅱ）恰为两名男生一名女生的概率P=…（7分）
（Ⅲ）由题意，ξ的取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）==，
P（ξ=1）=C×=，
P（ξ=2）=×=，
P（ξ=3）==．…（11分）
所以ξ的分布列为：

ξ 1 2 3
P

所以Eξ=0×+1×+2×+3×=．…（13分）