Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁=2，AC=4，∠BAC=90°，D是AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC₁∥平面B₁DC；
（Ⅱ）求二面角B₁-DC-B的余弦值；
（Ⅲ）试问线段A₁C₁上是否存在点E，使得CE与DB₁成60°角？若存在，求线段CE的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）建立空间直角坐标系，确定平面B1DC的法向量，证明，即可证明AC1∥平面B1DC；
（Ⅱ）求出平面BDC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角B1-DC-B的余弦值；
（Ⅲ）假设线段A1C1上存在点E，利用CE与DB1成60°角，结合向量的夹角公式，求出向量的坐标，即可求得结论．
（Ⅰ）证明：如图建立空间直角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），A1（0，0，2），
B1（2，0，2），C1（0，4，2），D（1，0，10），…（2分）
则=（1，0，2），=（1，-4，0）
设平面B1DC的法向量为=（x，y，z），则，即
取y=1，得=（4，1，-2），…（3分）
∵=（0，4，2），
∴，
∴，
∴AC1∥平面B1DC；．…（4分）
（Ⅱ）【解析】
设平面BDC的法向量=（0，0，1），二面角B1-DC-B的大小为θ，
则cosθ=|cos＜＞===，
所以二面角B1-DC-B的余弦值为．…（8分）
（Ⅲ）【解析】
假设线段A1C1上存在点E（0，y，2），（0＜y＜4），则=（0，y-4，2），…（9分）
∵|cos＜＞|=，…（10分）
∴cos60°=，
整理得5y2-40y+36=0，∴
∵0＜y＜4，∴，…（12分）
∴=（0，-，2），
∴=．…（13分）