Question

已知椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），离心率e=，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，过椭圆的左焦点F₁且垂直于长轴的直线交椭圆于M、N两点，且|MN|=．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知直线l与椭圆相交于P，Q两点，O为原点，且OP⊥OQ．试探究点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由椭圆的离心率和通径的长度，结合a2=b2+c2联立求出a，b的值，则椭圆的方程可求；
（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设出直线方程的斜截式，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出两交点横坐标的和与积，从而求出纵坐标的乘积，利用OP⊥OQ得到x1x2+y1y2=0，把坐标乘积代入后求得m和k的关系，求出点O到直线l的距离，整体代入后可求得距离为定值，当斜率不存在时，直接求解P和Q的坐标，也能得到距离是相同的定值．
【解析】
（Ⅰ）因为，所以    ①
因为过椭圆的左焦点F1且垂直于长轴的直线交椭圆于M、N两点，且，
经计算得    ②
由a2=b2+c2，解①②得
，b=1，c=1，
所以椭圆的方程为；
（Ⅱ）1°当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y=kx+m，点P（x1，y1），Q（x2，y2），
由，联立得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-2=0
所以△=8（2k2+1-m2）＞0
，
于是y1y2=（kx1+m）（kx2+m）
=
因为OP⊥OQ，所以x1x2+y1y2=0
即
所以
此时满足条件，
设原点O到直线l的距离为d，
则．
2°当直线l的斜率不存在时，
因为OP⊥OQ，根据椭圆的对称性，不妨设直线OP、OQ的方程分别为y=x，y=-x，
可得，或，，
此时原点O到直线l的距离仍为，
综上可得，原点O到直线l的距离为．