Question

如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=，D是AP的中点，E、F分别为PC、PD的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥P-ABCD，
（Ⅰ）G为线段BC上任一点，求证：平面EFG⊥平面PAD；
（Ⅱ）当G为BC的中点时，求证：AP∥平面EFG．

Answer

（I）证明EF∥CD，CD⊥平面PAD，可得EF⊥平面PAD，利用面面垂直的判定，即可证明结论；
（II）证明GF∥平面PAB，EF∥平面PAB，可得平面EFG∥平面PAB，从而可证AP∥平面EFG．
证明：（I）∵△PDC中，E、F分别是PD、PC的中点，∴EF∥CD，
∵CD⊥PD，CD⊥AD，PD∩AD=D
∴CD⊥平面PAD，
∴EF⊥平面PAD，
∵EF⊂平面EFG，
∴平面EFG⊥平面PAD； 
（II）∵G为BC的中点，F为PD的中点，
∴GF∥BP
∵GF⊄平面PAB，BP⊂平面PAB，
∴GF∥平面PAB，
由（I）知，EF∥DC
∵AB∥DC，∴EF∥AB
∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴EF∥平面PAB，
∵EF∩GF=F
∴平面EFG∥平面PAB
∵PA⊂平面PAB
∴AP∥平面EFG．